Le triangle et la droite d’Euler

28 février 2018

Si vos cours de géométrie du secondaire sont enfouis au creux de votre mémoire et que certaines propriétés du triangle vous semblent à tout jamais oubliées, je vous conseille fortement ce petit vidéo (dans la série Numberphile) sur les différents centres du triangle… et sur une droite un peu particulière!


L’identité d’Euler

5 avril 2016

Depuis toujours, Euler est un de mes mathématiciens préférés (avec Gauss et Riemann).  Depuis bien longtemps, je suis fasciné par l’identité d’Euler et je n’ai jamais cessé, dès que l’occasion se présentait, de lire et regarder toutes les preuves de celle-ci.

Cette formule est considérée par plusieurs comme étant la plus belle des mathématiques.  Elle est d’une simplicité désarmante et contient la base de toutes les mathématiques : 1, 0, i, pi et e.  Pourtant, devant cette apparente simplicité se cache un trésor de surprises!

Des preuves de cette célèbre formule, j’en ai vu et lu des tonnes. Et des tonnes.  Et des tonnes. La plupart de celles-ci impliquent des séries de Taylor, des expansions et rotations dans le plan des nombres complexes, le calcul de limites, etc. Cependant, je n’étais encore jamais tombé sur une preuve n’impliquant que de l’algèbre… jusqu’à cette nuit.

Tout le long du vidéo, je me demandais « mais qu’est-ce que cette foutue dérivée vient faire ici« ?  J’avoue que la fin de la preuve m’a époustouflé.  Ça peut vous sembler con mais j’en suis encore ému!

P.S.  Un de ces jours, j’me ferai tatouer…  Vous l’avez deviné : ça sera un tattoo exactement comme l’image au début de l’article!


2015 : curiosités mathématiques

3 janvier 2015

Quelques particularités et curiosités du nombre 2015…

2015 se décompose en facteurs premiers ainsi : 5 * 13 * 31.  Ces mêmes facteurs forment un palindrome : 13 * 5 * 31.

2015 est aussi un des nombres n satisfaisant les conditions suivantes : n – 4est soit premier, soit 1 pour k > 0 et n > 4k (suite A067528 de l’OEIS).

En base 2, 2015 s’écrit 111110111112.  C’est également un palindrome!  Et avec un seul zéro, faut-il le noter!

2015 s’exprime aussi comme la différence de deux carrés ainsi que la différence des carrés de leurs inverses : 2015 = 482-172 = 842-712.

2015 n’est pas un nombre de Lychrel : en effet, nous obtenons un palidrome après une seule itération comme 2015 + 5102 = 7117.

2015 satisfait l’équation quadratique 2015 = 8n2 + 14n + 5 lorsque n = 15.

2015 satisfait l’équation 2015 = 1n * (2n + 3) pour n = 31.

2015 peut être construit avec les chiffres de 1 à 6 de la façon suivante : 2015 = 1 – 2 + (3!)4 + 5! x 6.

En 2015, le jour de pi se produira le 14 mars à 9:26:53 (3/14/15 à 9:26:53 selon le format de date anglais), cette date et cette heure représentant les 10 premiers chiffres de Pi (3.141592653).

2015 satisfait l’équation 2015 = (5n * (n+5)) /2, pour n = 26.

2015 peut être construit avec les chiffres de 1 à 8 de la façon suivante : 2015 = (12 x 34 – 5) x (6 + 7 – 8).

2015 apparaît à la position 19038 des décimales de pi. Le nombre 2015 est présent 20090 fois dans les 200 millions premières décimales de pi.

2015 est le troisième nombre de Lucas-Carmichael (suite A006972 de l’OEIS).

La première apparition de 2015 dans les décimales de e (nombre d’Euler ou constante de Néper) arrive à la position 15760.

La première apparition de 2015 dans les décimales de Phi (nombre d’or) est à la position 4245.

La première apparition de 2015 dans les décimales de la racine carrée de 2 arrive à la position 5480.

2015, exprimé dans différentes bases, comporte de curieuses propriétés de symétrie : 3737 (base 8), 11bb (base 12).

Le nombre 2015 recèle une foule d’autres particularités que vous trouverez en fouinant ici.